数字表格

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Description

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么

f[0]=0

f[1]=1

f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input

第一个一个数T，表示数据组数。

接下来T行，每行两个数n,m

Output

输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input

3
　2 3
　4 5
　6 7

Sample Output

1
　6
　960

HINT

T<=1000,1<=n,m<=10^6

Solution

运用莫比乌斯反演，得到式子：

img

这样我们对于内外分块即可，复杂度为O(n^(0.75)*T)。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
typedef long long s64;
 
const int ONE = 1e6+5;
const int MOD = 1e9+7;
const int PHI = 1e9+6;
 
int T;
int n,m;
int prime[ONE],p_num,miu[ONE];
int F[ONE];
bool isp[ONE];
s64 Ans;

int get() 
{
    int res=1,Q=1;  char c;
    while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
    if(Q) res=c-48; 
    while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
        res=res*10+c-48; 
    return res*Q; 
}

int Quickpow(int a,int b)
{
    int res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res = (s64)res*a%MOD;
        a = (s64)a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
  
void Deal_first(int MaxN)
{
    F[1]=1;
    F[0]=0; for(int i=2; i<=MaxN; i++) F[i] = ((s64)F[i-1]+F[i-2]) % MOD;
    F[0]=1; for(int i=2; i<=MaxN; i++) F[i] = (s64)F[i]*F[i-1] % MOD;

    miu[1] = 1;
    for(int i=2; i<=MaxN; i++)
    {
        if(!isp[i])
            prime[++p_num] = i, miu[i] = -1;
        for(int j=1; j<=p_num, i*prime[j]<=MaxN; j++)
        {
            isp[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                miu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            miu[i * prime[j]] = -miu[i];
        }
        miu[i] += miu[i-1];
    }
}

int f(int n,int m)
{
    if(n > m) swap(n,m);
    s64 Ans = 0;
    for(int i=1,j=0; i<=n; i=j+1)
    {
        j = min(n/(n/i), m/(m/i));
        Ans += (s64)(n/i) * (m/i)%PHI * ((s64)(miu[j] - miu[i-1] + PHI)%PHI) % PHI;
        Ans %= PHI;
    }
    return Ans;
}

void Solve()
{
    n=get();    m=get();
    if(n > m) swap(n,m);
    Ans = 1;
    for(int i=1,j=0; i<=n; i=j+1)
    {
        j = min(n/(n/i), m/(m/i));
        Ans = Ans * Quickpow( (s64)F[j] * Quickpow(F[i-1],MOD-2) % MOD , f(n/i,m/i) % PHI) % MOD;
    }
    printf("%lld\n",Ans);
}

int main()
{
    Deal_first(ONE-1);
    T = get();
    while(T--)
        Solve();
    return 0;
}